学物理也要用到基础数学
发布时间：2022-02-22 11:59:40 所属栏目：动态 来源：互联网
导读：《张朝阳的物理课》第三十期开播。搜狐创始人、董事局主席兼 CEO 张朝阳坐镇搜狐视频直播间。他先带着网友复习麦克斯韦速度分布律，补充了速度分布化为速率分布的细节，引出关于直角坐标系与球坐标系的讨论，并导出球坐标系的体积元。之后以球壳与质点间的
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《张朝阳的物理课》第三十期开播。搜狐创始人、董事局主席兼 CEO 张朝阳坐镇搜狐视频直播间。他先带着网友复习麦克斯韦速度分布律，补充了速度分布化为速率分布的细节，引出关于直角坐标系与球坐标系的讨论，并导出球坐标系的体积元。之后以球壳与质点间的引力计算为例，结合巧妙的积分参数变换，得到具体公式，最终发现球壳所受引力可以等效到其质心上，即质量集中到球心。将球壳积分变为球体也具有同样的结论。 “今天是复习和反刍的一天。”张朝阳说，“上节课谈了玻尔兹曼在速度场和重力场的分布，今天本来想讲点玻尔兹曼分布更普遍的证明，但比它更重要的，是组合与熵的概念。这样就得学点热力学、学点数学，补充点基础知识。” 区别与联系：麦克斯韦速度分布与速率分布 张朝阳先带着网友复习如何推导麦克斯韦速度分布。“它重点强调理想气体的各向同性，表明速度分布只与速率有关。”他解释说，依据三个垂直方向上速度分布的独立性，可以将总的速度分布函数分解为各个方向上速度分布函数的乘积；之后取对数，将乘积化为求和的形式，再对某一速度分量求偏导；结合一些简单的变换，就可以用分离变量法，解出各方向上的速度分布，进而回过头来，得到完整的三维速度分布。 利用球坐标系与直角坐标系中体积微元之间的关系，可将速度分布化为速率分布。张朝阳指出，“速率分布显示，粒子速率趋于 0 时，概率密度趋于 0。然而，速度分布却显示，粒子在某方向上的速度为 0 时，概率密度取到最大值。” 怎么理解这个看似矛盾的结果呢？张朝阳解释说，速度分布描述的是，速度处在速度区间 Vx~Vx+dVx、Vy~Vy+dVy、Vz~Vz+dVz 的粒子数，它对 x、y、z 三个分量都有要求，只要其中一个速度分量超出此区间，就不计算在分布里面。但是，速率分布描述的是速率处在速率区间 V~V+dV 的粒子数。由速率与速度的定义，可以知道他们并不是一一对应的。一个速率可以对应多个速度。一个速度区间 A 的粒子，对相应的速率区间 dV 有贡献；但速率区间 dV，包含的不只有速度区间 A 的粒子，还包含了其它速度区间 B、C、D 等的粒子。由速率与速度之间的关系，可以看出，当速率越小，其在球坐标系对应的球面越小，直观来讲就是对应的可取速度状态数越少。所以，即使速度分布在各自速度分量趋于 0 时能取到最大值，对速率分布，当速率趋于 0 时，对应的状态数急剧下降，概率密度趋于 0。 如何定量描述速率区间与速度区间状态数的对应关系呢？张朝阳告诉网友，“这就涉及到球坐标系体积微元的推导。” 张朝阳对着示意图边写公式边推导。他说，在球坐标 (r,θ,φ) 所示的某点上，给 θ 做一个微小的变化 dθ，同时也给 φ 做一个微小的变化 dφ，就会在半径为 r 的球面上，划出一个边长分别为 rdθ 与 rsinθdφ 的小面积元，其面积大小为 r^2sinθdθdφ, 若对 r 再做个微小的变化 dr，则会形成一个以前述面积元为底、高度为 dr 的体积微元，其体积大小是 r^2sinθdθdφdr，这就是球坐标区间 θ~θ+dθ、φ~φ+dφ、r~r+dr 所对应的体积。 在笛卡尔坐标系里，体积微元是 dxdydz；将积分变量从直角坐标系变换到球坐标系后，就可以将直角坐标的体积微元换成 r^2sinθdθdφdr 再继续积分。当然，类似地，反过来从球坐标到直角坐标也是可以进行变换的。 同理，将 x，y，z 换成速度 Vx，Vy，Vz，速度区间所示的体积微元 dVxdVydVz 对应到球坐标系里的体积微元就是 V^2sinθdθdφdV，其中 V 是速率。所以当速率趋于零时，体积元以 V^2 方式减小到零，这就解释了为什么速率趋于零时对应的速率分布值也趋于零。 （编辑：PHP编程网 - 黄冈站长网） 【声明】本站内容均来自网络，其相关言论仅代表作者个人观点，不代表本站立场。若无意侵犯到您的权利，请及时与联系站长删除相关内容! |
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